lim(e->0){ (F(f0+eu,g0)-F(f0,g0)) / e } where F(f0+eu,g0) = <<f0+eu,g0>> = <<f0,g0>>+<<eu,g0>> = F(f0,g0)+e<<g0,u>> so the limit becomes: lim(e->0){ e<<g0,u>> / e } = <<g0,u>> So <<grad(F(f0)),u>> = <<g0,u>> for all u, then grad(F(f0)) = g0